tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p mët vîi c¡c h» sè l c¡c h m gi£i t½ch
ành lþ 2.4. Cho h» ch½nh tc elliptic tuy¸n t½nh
um,α(x) = Smiαβ(x, ξ)ui,β(x) +T0miα(x, ξ)ui(x) +T00mα(x, ξ), câ c¡c h» sè Smiαβ(x, ξ), T0miα(x, ξ), T00mα(x, ξ) l h m gi£i t½ch trong mi·n D. Khi â nghi»m ui(x) công l h m gi£i t½ch trong mi·n D. Chùng minh. Cho ui(x) l c¡c nghi»m cõa h» ch½nh tc elliptic tuy¸n t½nh
um,α(x) =Smsαβ(x, ξ)us,β(x) +Tmiα0 (x, ξ)ui(x) +T00mα(x, ξ), (2.25) trong â i, m, s = 1, ..., N; α, β = 1, ..., n.
Ta bi¸t r¬ng c¡c h» sè Smsαβ, T0miα, T00mα thuëc lîp C∞, måi nghi»m ui cõa (2.25) thuëc lîp C1 công s³ thuëc lîp C∞. Ta s³ chùng minh r¬ng n¸u c¡c h» sè l gi£i t½ch èi vîi bi¸n x th¼ nghi»m công vªy.
V¼ möc ½ch n y ta x²t t½ch ph¥n J (z, r) trong (2.10). Trong (2.14) ∂J/∂zα l biºu thùc câ d¤ng y h»t, ch¿ kh¡c duy nh§t l vîi c¡c h» sè a0i(x, ξ) v b0(x, ξ).
Trong (2.17), (2.18), c¡c a0i v b0 câ d¤ng tuy¸n t½nh bªc nh§t v thù tü l c¡c to¡n tû ¤o h m cõa ai v b; c¡c h» sè cõa nhúng to¡n tû l k¸t hñp cõa Smiαβ, T0miα, T00mα v ¤o h m c§p mët cõa chóng.
°t b(x, ξ) = aN+1(x, ξ). Cæng thùc li¶n h» giúa a0i v b0 vîi ai v b câ d¤ng
ð ¥y Litα l to¡n tû ¤o h m c§p mët èi vîi c¡c bi¸n x v ξ, vîi c¡c h» sè l c¡c h m gi£i t½ch cõa x, ξ vîi x thuëc mi·n D v ξ 6= 0. º ÷ñc ÷îc l÷ñng cho ¤o h m cõa J ta so s¡nh cæng thùc truy o¡n (2.26) vîi h» c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng
∂Ai(x, ξ, η, t)
∂t = ηLitα[At(x, ξ, η, t)], (2.27) vîi i·u ki»n ban ¦u
Ai = 1
ωn|ξ|1−nδsi, (2.28) trong â s = 1,2, ..., N v cè ành.
Cho sè thüc b§t ký x, ξ, η, t vîi x ∈ D v ξ 6= 0 c¡c h» sè cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng (2.27) èi vîi Ai v dú li»u ban ¦u (2.28) l c¡c h m gi£i t½ch.
Cho D0 l tªp compact b§t ký trong mi·n D. Tçn t¤i tªp compact kh¡c D00 cõa D sao cho D0 l tªp con cõa D00. Cho r l sè d÷ìng sao cho r l l¥n cªn cõa måi iºm cõa D0 chùa trong D00.
Tø ành lþ Cauchy Kowalewski ta thu ÷ñc h» nghi»m ch½nh tc
Ai(x, ξ, η, t) cõa (2.27), (2.28) m l h m gi£i t½ch èi vîi x, ξ, η, t trong l¥n cªn thüc cõa tªp hñp
|x| ⊂ D00,|ξ| = r,|η|= 1, t = 0
trong xξηt - khæng gian.
Cho ui(x) l nghi»m ang xem x²t cõa h» ch½nh tc (2.25). H m ui(x)
s³ thuëc lîp C1 trong D. Ta thu ÷ñc biºu thùc J(z, η, t) = Z |x−z|=r " N X i=1 Ai(x, x−z, η, t)ui(x) +AN+1(x, x−z, η, t) # dSx.
30
Biºu thùc J(z, η, t) l x¡c ành èi vîi z trong D0, |η| = 1,|t| < ε v l gi£i t½ch èi vîi η v t. Tø (2.14), (2.26), (2.27) ta câ
∂J (z, η, t) ∂t = ηα ∂J (z, η, t) ∂zα J (z, η,0) = 1 ωnr 1−n Z |x−z|=r us(x)dSx = Is(z, r). (2.29) Do â J (z, η, t) = J(z +tη, η,0) = Is(z+tη, r). (2.30) Do J(z, η, t) l gi£i t½ch èi vîi |η| = 1,|t| < ε, trong (2.30) Is(z, r) l gi£i t½ch èi vîi z, vîi z thuëc D0. Ta th§y r¬ng trung b¼nh c¦u Is(z, r)
cõa us(x) l h m gi£i t½ch èi vîi z vîi måi m°t c¦u t¥m z b¡n k½nh r trong mi·n D. T÷ìng tü n ¤o h m ¦u ti¶n theo r cõa Is(z, r) ·u l c¡c h m gi£i t½ch èi vîi z v r, vîi r õ b² v bà ch°n bði 0.
Tø cæng thùc (1.22) ta th§y r¬ng us(x) l h m gi£i t½ch èi vîi x thuëc D. V¼ vªy c¡c nghi»m ui(x) cõa h» ch½nh tc elliptic tuy¸n t½nh vîi c¡c
h» sè gi£i t½ch công s³ l h m gi£i t½ch.